Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng

Viết phương trình con đường thằng trong không gian là trong những dạng toán khá tuyệt nhưng cũng rất khó cho những bạn, đây cũng là dạng toán rất hay có trong các đề thi giỏi nghiệp thpt quốc gia.

Bạn đang xem: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng


Vì vậy để chúng ta học sinh lớp 12 nắm rõ phần nội dung kiến thức và kỹ năng này, trong nội dung bài viết này bọn họ cùng tổng hợp lại những dạng toán về phương trình con đường thẳng trong không gian, giải một số trong những ví dụ và bài xích tập một cách cụ thể và dễ hiểu để các em lạc quan khi gặp các dạng toán này.

1. Phương trình tham số với phương trình bao gồm tắc của mặt đường thẳng

* Đường thẳng (d) trải qua M0(x0;y0;z0) và bao gồm vectơ chỉ phương  = (a;b;c) có:

- Phương trình thông số của (d): 

- Phương trình chính tắc của (d): 

2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian

* Cho mặt đường thẳng d0 đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương 0 = (a;b;c) và con đường thẳng d1 trải qua điểm M1(x1;y1;z1) và gồm vectơ chỉ phương 1 = (a1;b1;c1) khi đó:

- d0 và d1 cùng phía trong một khía cạnh phẳng ⇔ 

*

- d0 và d1 cắt nhau ⇔ 

*

- d0 // d1 ⇔ 

*

- d0 Ξ d1 ⇔ 

*

- d0 và d1 chéo nhau ⇔ 

*

3. Vị trí tương đối của mặt đường thẳng với phương diện phẳng

* Đường trực tiếp (d) trải qua M0(x0;y0;z0) và tất cả vectơ chỉ phương  = (a;b;c) với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 gồm vectơ pháp tuyến  = (A;B;C) lúc đó:

- d cắt (P) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0

- d//(P) ⇔ 

*

- d ⊂ (P) ⇔ 

*

- d ⊥ (P) ⇔  //  ⇔ 

*

4. Góc giữa 2 đường thẳng

- Đường trực tiếp (d) bao gồm vectơ chỉ phương  = (a;b;c) và (d") bao gồm vectơ chỉ phương  = (a";b";c"), call 00 ≤ ∝ ≤ 900 là góc thân 2 đường thẳng đó, ta có:

 cos∝ = 

*

5. Góc giữa đường thẳng cùng mặt phẳng

- Đường trực tiếp (d) gồm vectơ chỉ phương  = (a;b;c) và khía cạnh phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

*
, hotline 00 ≤ φ ≤ 900 là góc giữa đường thẳng (d) và mp (P), ta có:

 sinφ = 

*

6. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

- cho điểm M1(x1;y1;z1) tới con đường thẳng Δ tất cả vectơ chỉ phương :

* phương pháp tính 1:

- Viết phương trình phương diện phẳng (Q) qua M1 và vuông góc với Δ.

- tra cứu tọa độ giao điểm H của Δ và khía cạnh phẳng (Q).

- d(M1,Δ) = M1H

* cách tính 2:

- sử dụng công thức: d(M1,Δ) = 

*

7. Khoảng cách giữa 2 con đường thẳng chéo cánh nhau

- cho đường trực tiếp Δ0 đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và tất cả vectơ chỉ phương 0 = (a;b;c) và mặt đường thẳng Δ1 đi qua điểm M1(x1;y1;z1) và gồm vectơ chỉ phương 1 = (a1;b1;c1):

* phương pháp tính 1:

- Viết phương trình khía cạnh phẳng (Q)">(Q) chứa (Δ) và tuy vậy song cùng với (Δ1).

- Tính khoảng cách từ M0M1 tới mặt phẳng (Q).

- d(Δ,Δ1) = d(M1,Q)

* cách tính 2:

- áp dụng công thức: d(Δ,Δ1) = 

*

*

II. Những dạng bài bác tập về con đường thẳng trong ko gian

Dạng 1: Viết PT con đường thẳng (d) qua 1 điểm và gồm VTCP

- Điểm M0(x0;y0;z0), VTCP 0 = (a;b;c)

* Phương pháp:

- Phương trình tham số của (d) là: 

Nếu a.b.c ≠ 0 thì (d) bao gồm PT thiết yếu tắc là: 

 Ví dụ: Viết phương trình mặt đường thẳng (d) trải qua điểm A(1;2;-1) và nhận vec tơ  (1;2;3) có tác dụng vec tơ chỉ phương

* Lời giải: 

 - Phương trình thông số của (d) là: 

*

Dạng 2: Viết PT con đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

* Phương pháp

- cách 1: tra cứu VTCP 

- bước 2: Viết PT con đường thẳng (d) trải qua A cùng nhận  làm VTCP.

 Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3);

* Lời giải:

- Ta có:  (-2;-1;3)

- Vậy PTĐT (d) đi qua A có VTCP là  có PT tham số: 

*

Dạng 3: Viết PT đường thẳng đi qua A và tuy vậy song với mặt đường thẳng Δ

* Phương pháp

- cách 1: search VTCP  của Δ.

- cách 2: Viết PT mặt đường thẳng (d) đi qua A với nhận  làm VTCP.

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng trải qua A(2;1;-3) và song song với con đường thẳng Δ: 

*
 

* Lời giải: 

- VTCP  vì (d)//Δ đề nghị nhận  làm VTCP

- Phương trình thông số của (d): 

*

Dạng 4: Viết PT mặt đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mp (∝).

* Phương pháp

- cách 1: tra cứu VTPT  của mp (∝)

- cách 2: Viết PT con đường thẳng (d) trải qua A và nhận  làm VTCP.

 Ví dụ: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A(1;1;-2) cùng vuông góc cùng với mp (P): x-y-z-1=0

* Lời giải:

- Ta tất cả VTPT của mp (P):  = (1;-1;-1) là VTCP của đường thẳng (d).

- PT con đường thẳng (d) qua A và nhận  làm VTCP gồm PT thông số là: 

*

Dạng 5: Viết PT mặt đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc cùng với 2 đường thẳng (d1), (d2).

* Phương pháp:

- bước 1: tra cứu VTCP ,  của (d1) và (d2).

- cách 2: Đường thẳng (d) gồm VTCP là: =<, >

- bước 3: Viết PT mặt đường thẳng (d) đi qua điểm A với nhận  làm VTCP.

 Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của mặt đường thẳng d biết d đi qua điểm M(1;-3;2) vuông góc với d1: 

*
và d2:
*

* Lời giải:

- Ta tất cả VTCP của d1 là  = (-3;1;2) của d2 là  = (2;5;3)

- d ⊥ d1 cùng d ⊥ d2 nên VTCP của d là:  = <, >

 =

*
= (-7;13;-17)

- Phương trình tham số của (d) là: 

*

Dạng 6: Viết PT đường thẳng (d) là giao đường của 2 mp

- mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A"x + B"y + C"z + D" = 0;

* Phương pháp:

+ biện pháp giải 1:

- cách 1: Giải hệ 

*
 ta tìm kiếm 1 nghiệm (x0;y0;z0) bằng phương pháp cho 1 trong 3 ẩn 1 giá trị xác định, rồi giải hệ tìm quý hiếm 2 ẩn còn lại, ta được một điểm M0(x0;y0;z0) ∈ (d).

- bước 2: Đường trực tiếp (d) gồm vectơ chỉ phương là: =

*

- cách 3: Viết PT mặt đường thẳng (d) qua M0 và có VTCP .

+ giải pháp giải 2: 

- cách 1: tra cứu toạ độ 2 điểm A, B ∈ d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2 PT trên)

- cách 2: Viết PT con đường thẳng đi qua 2 điểm AB.

+ bí quyết giải 3:

- Đặt một trong 3 ẩn bởi t (chẳng hạn x = t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT thông số của d.

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao con đường của 2 phương diện phằng (P): 2x+y-z-3=0 và (Q): x+y+z-1=0.

* Lời giải:

- Ta sẽ tìm 2 điểm A, B nằm trong (d) là nghiệm của hệ PT:

*

- cho z = 0 ⇒ x = 2 và y = - 1 ⇒ A(2;-1;0)

- mang đến z = 1 ⇒ x = 4 với y = - 4 ⇒ B(4;-4;1)

 ⇒ 

⇒ PTĐT (d) trải qua A(2;-1;0) và có VTCP  có PTCT là: 

*

Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp (P).

* Phương pháp

- cách 1: Viết PT mp(Q) cất d và vuông góc cùng với mp (P).

- cách 2: Hình chiếu yêu cầu tìm d’= (P)∩(Q)

- Chú ý: Nếu d⊥(P) thì hình chiếu của d là điểm H=d∩(P)

 Ví dụ: Trong không khí với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: 

*
 trên mp(P): x - 2y + z + 5 = 0.

* Lời giải:

- Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng: m(x-2z) + n(3x-2y+z-3)=0

 ⇔ (m+3n)x - 2ny + (-2m+n)z - 3n = 0

 Q ⊥ P ⇔ 1.(m+3n) - 2(-2n) + 1.(-2m+n) = 0

 ⇔ m + 3n + 4n - 2m + n = 0 ⇔ -m + 8n = 0

 Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp (Q): 11x - 2y - 15z - 3 = 0

- bởi hình chiếu d’ của d trên P nên d" là giao đường của P với Q, phương trình của d’ đang là:

*

Dạng 8 : Viết PT con đường thẳng d trải qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2 

* Phương pháp

+ cách giải 1: 

- bước 1: Viết PT khía cạnh phẳng (α) trải qua điểm A và chứa đường trực tiếp d1.

- bước 2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ (d2)

- bước 3: Đường thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A, B.

+ biện pháp giải 2:

- bước 1: Viết PT khía cạnh phẳng (α) đi qua điểm A và đựng đường trực tiếp d1

- cách 2: Viết PT mặt phẳng (β) trải qua điểm A và đựng đường trực tiếp d2.

Xem thêm: Mẫu Đơn Xin Tăng Lương Của Doanh Nghiệp, Mẫu Đơn Xin Tăng Lương

- cách 3: Đường thẳng phải tìm d’= (α) ∩ (β)

+ giải pháp giải 3:

- cách 1: tìm kiếm toạ độ giao điểm B của d cùng với d1 cùng C của d với d2

- bước 2: Từ đk 3 điểm thẳng hàng tính được toạ độ B, C

- bước 3: Viết PT (d) đi qua 2 điểm

 Ví dụ: Trong không khí Oxyz, viết PT của con đường thẳng d biết d trải qua điểm A(1;1;0) với cắt cả hai đường thẳng d1: 

*
 và d2 : 
*

* Lời giải:

- call B, C theo lần lượt là những điểm và d giảm d1 cùng d2, ta có toạ độ B(1+t;-t;0) và C(0;0;2+s)

⇒ =(t;-t-1;0) ; =(-1;-1;2+s)

 A,B,C trực tiếp hàng ⇒  = k ⇔ 

*
 giải hệ được s = -2; t= -1/2; k = 1/2;

 Vậy d trải qua A(1;1;0) và C(0;0;0) ⇒ d có PT: 

*

Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d1 và cắt cả hai tuyến phố thẳng d2 và d3.

* Phương pháp

- bước 1: Viết PT mp(P) song song với d1 và chứa d2.

- bước 2: Viết PT mp(Q) tuy nhiên song với d1 và cất d3.

- bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

 Ví dụ: Viết phương trình con đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1)(d2) có PT:

 d1: 

*
 ; d2: 
*

* Lời giải:

- VTCP của Ox là: 

*
= (1;0;0)

- VTCP của d1 là:

*
=(2;1;-1); VTCP của d2 là: 
*
=(1;-1;2)

- PT mp (P) đựng d1 và song song Ox bao gồm VTPT:

*

 =

*
=(0;1;1)

- PT mp (Q) đựng d2 và tuy nhiên song Ox gồm VTPT:

*

 = 

*
=(0;-2;-1)

- PT mp (P) trải qua điểm (-8;6;10) ∈ d1 và tất cả VTPT 

*
(0;1;1) bao gồm PT:

 (y-6) + (z-10) = 0 ⇔ y + z - 16 = 0

- PT mp (Q) trải qua điểm (0;2;-4) ∈ d2 và tất cả VTPT 

*
(0;-2;-1) có PT:

 -2(y-2) - (z+4) = 0 ⇔ 2y + z = 0

⇒ PT đường thẳng d = (P) ∩ (Q): 

*

Dạng 10: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc đường thẳng d1 và giảm đường trực tiếp d2

* Phương pháp

+ phương pháp giải 1: 

- bước 1: Viết PT khía cạnh phẳng (α) qua điểm A cùng vuông góc mặt đường thẳng d1.

- cách 2: tra cứu giao điểm B = (α) ∩ (d2)

- cách 3: Đường thẳng yêu cầu tìm là đường thẳng trải qua 2 điểm A, B.

+ phương pháp giải 2:

- bước 1: Viết PT mp (α) trải qua điểm A cùng vuông góc với d1.

- cách 2: Viết PT mp (β) trải qua điểm A và đựng d2.

- cách 3: Đường thẳng yêu cầu tìm d = (α) ∩ (β)

 Ví dụ: Trong không khí với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình con đường thẳng (d) trải qua M(1;1;1), cắt mặt đường thẳng d1: 

*
 và vuông góc với con đường thẳng d2: x=-2+2t; y=-5t; z=2+t;

* Lời giải:

- PT mp (P) ⊥ d2 yêu cầu nhận VTCP d2 có tác dụng VTPT nên gồm PT: 2x - 5y + z + D = 0

- PT mp (P) đi qua M(1;1;1) phải có: 2.1 - 5.1 + 1 + D = 0 ⇒ D = 2

⇒ PT mp (P): 2x - 5y + z + 2 = 0

- Toạ độ giao điểm A của d1 cùng mp(P) là: (-5;-1;3)

⇒ 

*
 = (6;2;-2) = (3;1;-1)

⇒ PTTQ của (d) là: 

*

Dạng 11 : Lập con đường thẳng d đi qua điểm A , tuy vậy song mp (α) và cắt đường trực tiếp d’

* Phương pháp:

+ giải pháp giải 1:

- cách 1: Viết PT mp (P) trải qua điểm A và tuy vậy song cùng với mp (α).

- bước 2: Viết PT mp (Q) đi qua điểm A và đựng đường thẳng d’.

- bước 3: Đường thẳng đề xuất tìm d = (P) ∩ (Q)

+ cách giải 2:

- bước 1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A và tuy vậy song mặt phẳng (α)

- bước 2: tìm kiếm giao điểm B = (P) ∩ d’

- bước 3: Đường thẳng buộc phải tìm d trải qua hai điểm A cùng B.

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(1;2;-1) cắt đường thẳng d: 

*
 và tuy nhiên song với phương diện phẳng (∝): x + y - z + 3 = 0.

* Lời giải:

- PTTS của (d): 

*

- giả sử Δ cắt d tại điểm B, thì tọa độ của B(3+t;3+3t;2t) nên ta có: 

*

- vì AB// mp(∝) mà 

*
yêu cầu ta có: 
*
*

⇒ B(2;0;-2) 

*
 nên mặt đường thẳng Δ tất cả PTTQ: 
*

Dạng 12: Viết PT mặt đường thẳng d bên trong mp (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước .

* Phương pháp:

- cách 1: kiếm tìm giao điểm A = d1∩(P); B = d2∩(P)

- cách 2: d là mặt đường thẳng qua nhì điểm A và B .

 Ví dụ: cho 2 đường thẳng: 

*
*
 và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0; Viết phương trình đường thẳng Δ phía bên trong mặt phẳng (P) và giảm 2 đường thẳng d1 , d2;

* Lời giải:

- PTTS d1: 

*
 PTTS d2: 
*

- call A = d1∩(P); B = d2∩(P) thì tọa độ của A và B là: A(-1+2t;1-t;1+t) cùng B(1+s;2+s;-1+2s)

- Ta lại có: A∈(P) nên: (-1+2t)-(1-t)-2(1+t)+3=0 ⇔ t = 1 ⇒ A(1;0;2)

- Tương tự: B∈(P) nên: (1+s)-(2+s)-2(-1+2s)+3=0 ⇔ s = 1 ⇒ B(2;3;1)

⇒ 

*

⇒ PTĐT Δ qua A(1;0;2) gồm VTCP  có PTTQ là: 

*

Dạng 13: Viết PT mặt đường thẳng d bên trong mp (P) với vuông góc đường thẳng d’ mang lại trước tại giao điểm I của d’ cùng mp (P).

* Phương pháp

- bước 1: tra cứu giao điểm I = d’∩(P).

- cách 2: Tìm VTCP  của d’ và VTPT  của (P) và  =<,>

- bước 3: Viết PT đường thẳng d qua điểm I và tất cả VTCP 

Dạng 14: Viết PT mặt đường thẳng d vuông góc với hai tuyến đường thẳng chéo nhau d1, d2.

* Phương pháp

+ giải pháp giải 1:

- bước 1: Tìm những VTCP , của d1 và d2 . Lúc ấy đường trực tiếp d có VTCP là =<, >

- bước 2: Viết PT mp(P) đựng d1 và có VTPT =<, >

- cách 3: Viết PT mp(Q) chứa d2 và gồm VTPT =<,>

- cách 4: Đường thẳng đề xuất tìm d = (P) ∩ (Q). (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm một điểm M ở trong d).

* phương pháp giải 2: 

- cách 1: Gọi M(x0+at; y0+bt; z0+ct) ∈ d1; N(x0"+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’) ∈ d2 là chân các đường vuông góc phổ biến của d1 và d2.

- cách 2: Ta có 

*

- bước 3: núm t và t’ tìm được vào toạ độ M, N tìm được M, N. Đường thẳng đề xuất tìm d là mặt đường thẳng đi qua 2 điểm M, N.

- Chú ý : Cách 2 đến ta kiếm được ngay độ nhiều năm đoạn vuông góc tầm thường của hai tuyến đường thẳng chéo nhau.

 Ví dụ: Trong không khí Oxyz mang đến 2 mặt đường thẳng chéo cánh nhau d1: 

*
 và d2: 
*
 viết PT đường thẳng (d) vuông góc với d1 với d2

* Lời giải:

- d1 có VTCP  = (2;1;3); d2 có VTCP  = (1;2;3)

- hotline AB là đoạn vuông góc tầm thường của d1 và d2 cùng với A ∈ d1; B ∈ d2 

⇒ A(1+2t;2+t;-3-3t) và B(2+t";-3+2t";1+3t") 

⇒ =(1+t"-2t;-5+2t"-t;4+3t"+3t)

 Từ điều kiện 

*
 và 
*
 ta có: 
*
 

⇔ 

*

⇔ 

*
 ⇒ 
*

⇒ PT (d) đi qua A nhận (-1;-1;1) làm VTCP bao gồm dạng: 

*
Dạng 15: Viết PT đường thẳng d vuông góc cùng với mp(P) và giảm cả hai tuyến đường thẳng d1 và d2.

* Phương pháp:

- bước 1: Viết PT mp(P) cất d1 và vuông góc cùng với (P).

- cách 2: Viết PT mp(Q) cất d2 và vuông góc cùng với (P).

- bước 3: Đường thẳng đề nghị tìm d = (P) ∩ (Q).

 Ví dụ: Trong không gian oxyz, đến 2 mặt đường thẳng:

*
 
*
, cùng mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với (P) và giảm đường trực tiếp d1 , d2.

* Lời giải:

- PTTS của d1: 

*

- trả sử A,B lần lượt là giao điểm của Δ với d1 cùng d2 ta có: A(2s;1-s;-2+s), B(-1+2t;1+t;3)

- VTCP của Δ là:

*

- VTPT của (P) là: 

*

- do Δ ⊥ (P) nên  // 

*
, tức ta có: 
*

*
*
*

⇒ Phương trình con đường thẳng Δ qua A(2;0;-1) tất cả VTCP  có PTTQ là:

*

Dạng 16: Lập PT con đường thẳng d trải qua điểm A , giảm và vuông góc với mặt đường thẳng d.