Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

Sử dụng tính đối chọi điệu của hàm số nhằm giải pmùi hương trình bất phương thơm trình là 1 trong những giữa những dạng toán về hàm số hay giỏi mở ra vào đề thi giỏi nghiệp 12 xuất xắc kỳ thi trung học phổ thông non sông.

Bạn đang xem: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình


Vậy vận dụng hàm số giải phương thơm trình (PT), bất pmùi hương trình (BPT) bằng cách thực hiện tính đối chọi điệu của hàm số như thế nào? bọn họ thuộc mày mò qua nội dung bài viết tiếp sau đây.

I. Lý tngày tiết về tính đơn điệu của hàm số

1. Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng vươn lên là (hoặc luôn luôn nghịch biến) cùng tiếp tục trên D thì số nghiệm của phương thơm trình bên trên D: f(x) = k ko nhiều hơn nữa một với f(x) = f(y) Lúc và chỉ Khi x = y với mọi x, y ∈ D.

* Lưu ý: Từ định lý trên, ta có thể vận dụng vào giải phương thơm trình nhỏng sau:

¤ Bài tân oán đòi hỏi giải PT: F(x) = 0. Ta tiến hành các phnghiền đổi khác tương tự chuyển PT về dạng f(x) = k hoặc f(u) = f(v) (với u = (x) với v = v(x)) cùng ta chứng tỏ được f(x) là hàm luôn đồng biến chuyển (hoặc luôn luôn nghịch biến):

- Nếu là PT: f(x) = k thì ta kiếm tìm một nghiệm rồi chứng minh nghiệm chính là nhất.

- Nếu là PT: f(u) = f(v) thì ta tất cả tức thì u = v giải PT này ta kiếm được nghiệm

¤ Định lý này cũng được áp dụng mang lại bài toán chứng minh PT tất cả nghiệm tốt nhất.

2. Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến hóa (hoặc luôn luôn nghịch biến) cùng hàm số y = g(x) luôn nghịch đổi mới (hoặc luôn đồng biến) cùng tiếp tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình: f(x) = g(x) ko nhiều hơn thế nữa 1.

* Lưu ý: Lúc chạm chán pmùi hương trình F(x) = 0 cùng ta có thể biến đổi về dạng f(x) = g(x) trong số ấy f(x) và g(x) không giống tính đối chọi điệu. lúc kia ta kiếm tìm một nghiệm của phương thơm trình và chứng tỏ sẽ là nghiệm tuyệt nhất.

3. Định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) luôn luôn đồng trở nên (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục bên trên D thì f(x) > f(y) trường hợp x > y (hoặc x II. Ứng dụng tính đối kháng điệu của hàm số nhằm giải pmùi hương trình, bất phương thơm trình.

1. Ứng dụng hàm số giải phương trình

* lấy ví dụ như 1: Giải các pmùi hương trình sau

a)x2019 + x = 2

b)

*

° Lời giải:

a) Đặt f(x) = x2019 + x ⇒ f"(x) = 2019x2018 + 1 > 0.

⇒ f(x) là hàm đồng biến

- Mặt khác f(1) = 12019 + 1 = 2 phải theo định lý 1 và 3: x = 1 là nghiệm tuyệt nhất của phương thơm trình.

* Nhận xét: Với bài toán này những em thấy chưa phải dạng quen thuộc cùng số mũ tương đối to đề xuất phải nghĩ đến việc ứng dụng hàm số nhằm giải, và những em thấy bài toán giải bài xích toán thù đã dễ dãi hơn các.

b) Điều khiếu nại x ≥ 1 cùng ta thấy x = 1 không hẳn là nghiệm của pmùi hương trình.

- Đặt: 

*
 với x > 1.

 

*

⇒ f(x) là hàm đồng biến

- Mặt khác, ta có 

*
 đề xuất theo định lý 1 cùng 3, x = 2 là nghiệm nhất của phương thơm trình.

* Nhận xét: - Với bài bác tân oán này ví như vận dụng phương pháp giải phương thơm trình căn thức thì phnghiền chuyển đổi và điều kiện khá tinh vi với gây khó khăn rộng câu hỏi sử dụng tính solo điệu của hàm số.

- Khi dự đoán thù nghiệm thì thường xuyên test với ±2; ±1; ±một nửa và 0. Đối với hàm có cnạp năng lượng thức thì quý hiếm của x sao cho các biểu thức dưới căn nhận quý hiếm là số bao gồm phương (số knhì căn ra được những số nguyên).

* lấy một ví dụ 2: Giải những phương thơm trình sau:

*

*

*

° Lời giải:

a) TXĐ: 

*

- Đặt 

*
, ta tất cả f(x) là hàm liên tiếp trên D.

 

*
 
*
 buộc phải hàm số f(x) luôn luôn đồng biến chuyển.

Xem thêm: Phim Zaschitniki (The Guardians) Bộ Tứ Siêu Hùng Tới Từ Nga, Siêu Anh Hùng Của Nga Có Gì Đặc Biệt

- Mặt không giống, ta thấy f(1) = 4 phải theo định lý 1 cùng 3, x = 4 là nghiệm duy nhất của phương thơm trình.

(Vì ví như x > 1 ⇒ f(x) > f(1) = 4 bắt buộc pt vô nghiệm; tốt nếu như x

⇒ f(x) là hàm đồng biến bên trên D

- Mặt khác, ta thấy f(1) = 3 yêu cầu x = một là nghiệm tuyệt nhất của phương trình vẫn đến.

c) TXĐ: 

*

- Ta có: 

*
 

 

*

 Xét 

*

 

*
, buộc phải hàm số đồng biến hóa bên trên D.

- Mặt không giống, ta có: f(1) = 4 yêu cầu x = 1 là nghiệm độc nhất vô nhị của pmùi hương trình.

* Nhận xét: Với bài bác toán trên thì bài toán vận dụng phương thức giải phương trình căn uống thức, các phxay đổi khác tương đương hay đặt ẩn phụ gần như hơi nặng nề với phức tạp hơn rất nhiều vấn đề áp dụng tính 1-1 điệu của hàm số.

* lấy một ví dụ 3: Giải những phương trình sau:

*

*

° Lời giải:

a) Đối cùng với bài toán thù giải pháp giải sẽ không còn hoàn toàn như là những bài xích toán làm việc ví dụ 1 cùng 2. Ta lưu ý thấy biểu thức bên dưới lốt căn uống ngơi nghỉ nhì vế gồm bình thường 1 mối tương tác, sinh hoạt vế trái là: x + 2 = (x + 1) + 1 với vế cần là 2x2 + 1 = (2x2) + 1, điều đó nếu đặt 

*
 thì pmùi hương trình đã đến trlàm việc thành:

 

*

Xét 

*
 là 1 hàm liên tục và 
*

⇒ f(t) là hàm đồng biến đổi. buộc phải theo định lý 2 ta có:

 

*

- Vậy pmùi hương trình tất cả nghiệm x = 1 cùng x = -một nửa.

b) Điều kiện: 

*
 đúng ∀x.

- Để ý những biểu thức tmê say gia trong phương thơm trình ta thấy:

 (2x2 + 4x + 5) - (x2 + x + 3) = x2 + 3x + 2. cần ta gồm pmùi hương trình lúc đầu trsinh hoạt thành:

 

*
 
*

 

*
 
*
 (*)

- Đặt u = x2 + x + 3; v = 2x2 + 4x + 5 (u, v >0) thì ta có:

 

*

 Xét hàm 

*

⇒ f(t) là hàm đồng phát triển thành.

- Mặt không giống, trường đoản cú (*) ta có: 

*

 

*
 
*

- Vậy phương thơm trình tất cả 2 nghiệm x = -1 cùng x = -2. Tức tập nghiệm S = -1;-2.

* Ví dụ 4: Giải những phương trình sau

a) 3x + 4x = 5x

b) 9x + 2(x - 2)3x + 2x - 5 = 0

° Lời giải:

a) 3x + 4x = 5x (1)

- Chia 2 vế của pt (1) cho 5x ta được:

 

*

- Xét hàm: 

*
là hàm nghịch trở thành (vày đấy là hàm mũ với cơ số dương với bé dại rộng 1 yêu cầu là hàm nghịch biến đổi, hoặc có thể tính f"(x) đã thấy hàm nghịch biến).

- Mặt không giống, ta gồm f(2) = 1 nên x = 2 là nghiệm duy nhất.

* Nhận xét: Với bài bác toán này rất cực nhọc nhằm ta áp dụng các phương thức giải pmùi hương trình nón nhằm giải. Tuy nhiên Khi áp dụng hàm số nhằm giải đã thuận lợi rộng.

b) 9x + 2(x - 2)3x + 2x - 5 = 0

- Đặt t = 3x > 0 phương thơm trình trsinh sống thành

 

*

- Đối chiếu ĐK t = -1 x = 5 - 2x ⇔ 3x + 2x - 5 = 0

Xét f(x) = 3x + 2x - 5 ⇒ f"(x) = 3x.ln3 + 2 > 0, ∀x.

⇒ f(x) là hàm đồng biến

- Mặt không giống, f(1) = 0 đề xuất x = một là nghiệm tốt nhất của phương trình.

2. Ứng dụng hàm số giải bất pmùi hương trình

* ví dụ như 1: Giải những bất phương trình sau

a)

*

b)

*

c)

*

° Lời giải:

a) TXĐ:

*
 ta có:

 

*

b) Điều kiện: x>0

- Đặt log7x = t ⇔ x = 7t bất phương trình sẽ mang lại trsinh sống thành:

 

*

*

Do f(t) là hàm nghịch biến chuyển trên R, còn mặt khác f(2) = 1 phải BPT f(t) 2 giỏi log7x > 2 ⇔ x > 49.

c) TXĐ:

*

- Bất phương trình tương đương:

 

*

*

- Xét hàm: 

*

⇒ f(t) là hàm đồng phát triển thành bên trên khoảng <1;3>

 Lúc kia BPT sẽ đến tương tự cùng với f(x - 1) > f(3 - x) ⇔ x - 1 > 3 - x ⇔ x>2

- Kết phù hợp với ĐK (TXĐ) ta bao gồm tập nghiệm là: 2III. Những bài tập Ứng dụng hàm số giải pmùi hương trình bất phương thơm trình trường đoản cú làm cho.

Bài 1. Giải những phương trình sau sử dụng tính đối kháng điệu của hàm số

a)

*

b)

*

c)

*

d)

*

e)

*

f)

*

g)

*

h)

*

i)

*

j)

*

Bài 2. Giải các Bất phương thơm trình sau sử dụng tính đơn điệu của hàm số

a)

*

b)

*

e)

*

bởi thế, so với không hề ít bài toán thù giải pmùi hương trình cùng bất phương trình cơ mà giả dụ ta vận dụng giải theo các cách thức vẫn biết (nlỗi phép đổi khác tương tự, đặt ẩn prúc,...) thì sẽ khá khó khăn nhằm giải quyết bài bác toán thù, mặc dù nếu như áp dụng tính đơn điệu của hàm số thì bài xích tân oán trngơi nghỉ lên tiện lợi hơn tương đối nhiều.

Hy vọng qua nội dung bài viết trên, các em vẫn có thể rèn được tài năng giải tân oán cùng thừa nhận dạng được một số trong những bài bác toán thù giải pmùi hương trình và bất phương thơm trình thực hiện tính đối chọi điệu của hàm số.