Giải Phương Trình Chứa Căn Bậc 3 Và Căn Bậc 2

Phương trình, bất phương trình cùng hệ phương trình chứa căn là một trong dạng toán phổ biến trong công tác toán lớp 9 và lớp 10. Vậy bao gồm dạng PT đựng căn nào? cách thức giải phương trình cất căn?… trong nội dung bài viết dưới dây, umakarahonpo.com sẽ giúp bạn tổng hợp kỹ năng về chủ thể PT cất căn, cùng mày mò nhé!


Mục lục

1 nói lại kỹ năng và kiến thức căn bản 2 tò mò về phương trình cất căn bậc 2 2.3 phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 lớp 9 nâng cao3 mày mò về phương trình cất căn bậc 34 tìm hiểu về phương trình cất căn bậc 45 khám phá về bất phương trình cất căn thức5.2 giải pháp giải bất phương trình cất căn khó 6 khám phá về hệ phương trình đựng căn khó6.2 Giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 đựng căn

Nhắc lại kỹ năng căn bản 

Để giải quyết và xử lý được những bài toán phương trình cất căn thì đầu tiên các bạn phải nắm vững được những kiến thức về căn thức cũng giống như các hằng đẳng thức quan lại trọng.

Bạn đang xem: Giải phương trình chứa căn bậc 3 và căn bậc 2


Định nghĩa căn thức là gì?

Căn bậc 2 (căn bậc hai) của một số trong những (a) không âm là số (x) sao để cho (x^2=a)

Như vậy, từng số dương (a) bao gồm hai căn bậc 2 là (sqrta;-sqrta)

Tương từ như vậy, ta có định nghĩa căn bậc 3, bậc 4:

Căn bậc 3 (căn bậc ba) của một vài (a) là số (x) thế nào cho (x^3=a). Mỗi số (a) chỉ gồm duy nhất 1 căn bậc 3

Căn bậc 4 của một vài (a) không âm là số (x) làm sao cho (x^4=a). Từng số dương (a) có hai căn bậc 4 là (sqrt<4>a;-sqrt<4>a)

Các hằng đẳng thức quan trọng 

*

Tìm hiểu về phương trình cất căn bậc 2 

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 2 là gì?

Phương trình cất căn bậc 2 là phương trình gồm chứa đại lượng (sqrtf(x)). Với dạng toán này, trước khi ban đầu giải thì ta luôn luôn phải tìm điều kiện để biểu thức vào căn có nghĩa, có nghĩa là tìm khoảng chừng giá trị của (x) nhằm (f(x) geq 0 ).

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 đơn giản

Phương pháp bình phương 2 vế được thực hiện để giải PT cất căn bậc 2. Đây được coi như là phương pháp đơn giản và thường được sử dụng nhất, thường được sử dụng với những phương trình dạng: (sqrtf(x)=g(x))

Bước 1: Tìm điều kiện của (x) nhằm (f(x) geq 0; g(x) geq 0)Bước 2: Bình phương nhị vế, rồi rút gọnBước 3: Giải search (x) và đánh giá có thỏa mãn nhu cầu điều kiện giỏi không.

Ví dụ :

Giải phương trình: (sqrtx^2-4x+3=3x-7)

Cách giải:

ĐKXĐ:

(left{eginmatrix x^2-4x+3 geq 0\ 3x-7 geq 0 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix (x-1)(x-3)geq 0\3x geq 7 endmatrix ight.)

(Leftrightarrowleft{eginmatrix left<eginarrayl x geq 3\x leq 1 endarray ight.\ xgeq frac73 endmatrix ight. Leftrightarrow xgeq 3)

Bình phương 2 vế, ta gồm :

(x^2-4x+3=3x-7 Leftrightarrow x^2-7x+10=0)

 (Leftrightarrow (x-2)(x-5)=0 Leftrightarrow left<eginarrayl x=2\x=5 endarray ight.)

Kiểm tra điều kiện thấy (x=5) thỏa mãn

Kết luận: Nghiệm của phương trình đã chỉ ra rằng (x=5)

Phương pháp giải phương trình cất căn bậc 2 lớp 9 nâng cao

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Phương pháp này sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để chứng minh:

Vế trái (geq) Vế yêu cầu hoặc Vế trái (leq) Vế đề xuất rồi sau đó “ép” mang đến dấu “=” xảy ra.

Ví dụ :

 Giải phương trình : (sqrt5x-x^2-4 + sqrtx-1 =2sqrt2)

Cách làm cho :

Điều kiện xác định :

(left{eginmatrix 5x-x^2-4 geq 0\ x-1 geq 0 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix (x-1)(x-4) leq 0\ x geq 1 endmatrix ight. Leftrightarrow 1leq x leq 4)

Áp dụng BĐT (sqrta + sqrtb leq sqrt2(a+b)), ta có :

(sqrt5x-x^2-4 + sqrtx-1 leq sqrt2(6x-x^2-5))

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi:

 ( 5x-x^2-4=x-1 Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0 )

( Leftrightarrow left<eginarrayl x=1\x=3 endarray ight. hspace1cm (1))

Ta tất cả : (6x-x^2-5 = -(x^2-6x+9)+4 =4-(x-3)^2leq 4)

Dấu “=” xảy ra khi còn chỉ khi (x=3 hspace1cm (2))

Vậy :

(sqrt5x-x^2-4 + sqrtx-1 leq sqrt2(6x-x^2-5) leq sqrt8=2sqrt2) 

Do đó, để thỏa mãn nhu cầu phương trình đã mang lại thì ((1)(2)) cần thỏa mãn, hay (x=3)

Phương pháp đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình

Với các phương trình dạng : (sqrtf(x) pm sqrtg(x) =k) ta có thể đặt ẩn phụ (left{eginmatrix a=sqrtf(x)\ b=sqrtg(x) endmatrix ight.) rồi giải hệ phương trình nhì ẩn (a,b)

Ví dụ :

Giải phương trình :(sqrtx^2+5 – sqrtx^2-3 =2)

Cách giải:

Điều kiện xác minh : (left<eginarrayl x geq sqrt3\x leq -sqrt3 endarray ight.)

Đặt (left{eginmatrix a= sqrtx^2+5\ b= sqrtx^2-3 endmatrix ight.) ta bao gồm :

(left{eginmatrix a-b =2\ a^2-b^2=8 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix a-b=2\ (a-b)(a+b)=8 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix a-b=2\a+b=4 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix a=3\ b=1 endmatrix ight.)

Thay vào ta kiếm được (x=1) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là (x=1)

Tìm gọi về phương trình cất căn bậc 3

Giải phương trình đựng căn bậc 3 (sqrt<3>f(x)=g(x))

Với dạng bài này, ta lập phương nhị vế để phá quăng quật căn thức rồi rút gọn sau đó quy về kiếm tìm nghiệm của phương trình : (g^3(x)-f(x)=0)

Ví dụ:

Giải phương trình : (sqrt<3>3x-4= x-2)

Cách giải:

Lập phương 2 vế phương trình ta có :

(3x-4=(x-2)^3Leftrightarrow x^3-6x^2+9x-4 =0)

(Leftrightarrow (x-1)^2(x-4)=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl x=1\x=4 endarray ight.)

Giải phương trình chứa căn bậc 3 (sqrt<3>A+sqrt<3>B=sqrt<3>C)

Với dạng bài này ta lập phương 2 vế, phương trình trở thành:

(A+B +3sqrt<3>AB(sqrt<3>A+sqrt<3>B)=C)

Thay (sqrt<3>A+sqrt<3>B=sqrt<3>C) vào ta được :

(sqrt<3>ABC=C-A-B (2) )

Phương trình quay trở lại dạng (sqrt<3>f(x)=g(x)).

Xem thêm: Cách Chuyển Tiền Từ Điện Thoại Vào Tài Khoản Ngân Hàng, Cách Chuyển Tiền Qua Điện Thoại Không Cần Thẻ Atm

Chú ý: sau khi giải ra nghiệm, ta đề xuất thử lại vào phương trình vẫn cho bởi vì phương trình ((2)) chỉ với hệ trái của phương trình ban đầu

Ví dụ :

Giải phương trình :

(sqrt<3>3x-4+sqrt<3>x+3=sqrt<3>4x-1)

Cách giải:

Lập phương 2 vế ta được :

((3x-4)+(x+3)+3sqrt<3>(3x-4)(x+3).(sqrt<3>3x-4+sqrt<3>x+3)=4x-1)

(Rightarrow 3sqrt<3>(3x-4)(x+3).sqrt<3>4x-1=0)

(Rightarrow 3sqrt<3>(3x-4)(x+3).sqrt<3>4x-1=0 Rightarrow left<eginarrayl x=frac43\x=-3 \ x=frac14 endarray ight.)

Thử lại thấy cả 3 nghiệm các thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là : (frac43; -3; frac14)

Tìm phát âm về phương trình cất căn bậc 4

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 4 là gì?

Để giải phương trình đựng căn bậc 4 thì ta phải năm rõ hằng đẳng thức sau đây:

((x+y)^4=x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4)

Phương pháp giải phương trình đựng căn bậc 4

Ví dụ :

Giải phương trình : (sqrt<4>x^4-4x^3+17-x+1)

Cách giải :

Điều kiện xác định :

( left{eginmatrix x^4-4x^3+17 geq 0\ x geq 1 endmatrix ight.)

Phương trình đã cho tương đương với :

(sqrt<4>x^4-4x^3+17=x-1 Rightarrow x^4-4x^3+17=(x-1)^4)

(Rightarrow x^4-4x^3+17=x^4 – 4 x^3 + 6 x^2 – 4 x + 1)

(Rightarrow 6x^2-4x-16=0 Rightarrow (x-2)(3x+4)=0)

(Rightarrow left<eginarrayl x=2\x=-frac43 endarray ight.)

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho rằng (x=1)

Tìm hiểu về bất phương trình cất căn thức

Về cơ bản, cách giải bất phương trình cất căn thức ko khác biện pháp giải PT đựng căn nhiều, nhưng trong lúc trình bày họ cần chú ý về dấu của bất phương trình.

Các dạng bất phương trình cất căn lớp 10

*

Cách giải bất phương trình chứa căn khó 

Giải bất phương trình đựng căn bậc hai bằng cách bình phương nhị vế

Các bước làm cũng như cách giải PT chứa căn

Ví dụ :

Giải bất phương trình : (x-3-sqrt5-x geq 0)

Cách giải:

Điều kiện khẳng định :

(left{eginmatrix x-3 geq 0\ 5-x geq 0 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix x geq 3\ x leq 5 endmatrix ight. Leftrightarrow 3 leq x leq 5)

Bất phương trình đang cho tương tự với :

(x-3 geq sqrt5-x Leftrightarrow x^2-6x+9 geq 5-x)

(Leftrightarrow x^2-5x+4 geq 0 Leftrightarrow (x-4)(x-1)geq 0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix x geq 4\ x leq 1 endmatrix ight.)

Kết hợp đk ta được nghiệm của bất phương trình đã cho rằng (x in mathbbR | xgeq 4)

Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách nhân liên hợp

Đây là phương pháp nâng cao, dùng làm giải những bài toán bất PT cất căn khó. Cách thức này dựa trên việc áp dụng các đẳng thức sau :

(sqrta – sqrtb =fraca-bsqrta + sqrtb)

(sqrta + sqrtb =fraca-bsqrta – sqrtb)

(sqrt<3>a – sqrt<3>b = fraca-bsqrt<3>a^2+sqrt<3>ab+sqrt<3>b^2)

(sqrt<3>a + sqrt<3>b = fraca+bsqrt<3>a^2-sqrt<3>ab+sqrt<3>b^2)

Ví dụ :

Giải bất phương trình : (sqrtx+5-sqrt2x+3 geq x^2-4)

Cách giải:

Điều khiếu nại :

(left{eginmatrix x geq -5\ x geq -frac32 endmatrix ight. Leftrightarrow xgeq -frac32)

Ta có:

(sqrtx+5-sqrt2x+3 = frac(x+5)- (2x+3)sqrtx+5+sqrt2x+3=frac2-xsqrtx+5+sqrt2x+3)

(x^2-4 =(x-2)(x+2))

Vậy bất phương trình đang cho tương tự với :

(frac2-xsqrtx+5+sqrt2x+3geq (x-2)(x+2))

(Leftrightarrow (x-2)(x+2+frac1sqrtx+5+sqrt2x+3) leq 0)

Từ ĐKXĐ bao gồm (x geq frac32 Rightarrow x+2 geq frac12 >0)

Vậy phải :

(x+2+frac1sqrtx+5+sqrt2x+3 geq 0)

Vậy bất phương trình đã cho tương tự với :

(x-2 leq 0 Leftrightarrow x leq 2)

Kết hợp Điều kiện xác minh ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là :

(-frac32 leq x leq 2)

*

*

*

*

Tìm đọc về hệ phương trình chứa căn khó

Giải hệ phương trình chứa căn bằng cách thức thế

Đây là phương pháp đơn giản và thường được sử dụng trong các bài toán hệ PT chứa căn. Để giải hệ phương trình chứa căn bằng phương thức thế, ta có tác dụng theo quá trình sau :

Bước 1: tra cứu Điều khiếu nại xác địnhBước 2: lựa chọn một phương trình đơn giản dễ dàng hơn trong các hai phương trình, thay đổi để quy về dạng: (x =f(y))Bước 3: nuốm (x =f(y)) vào phương trình còn sót lại rồi giải phương trình theo ẩn (y)Bước 4: từ (y) cụ vào (x =f(y)) nhằm tìm ra (x). Đối chiều cùng với ĐKXĐ rồi kết luận

Ví dụ :

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix sqrtx+1=y+2\ sqrtx+2y-1=2y+1 endmatrix ight.)

Cách giải:

Điều kiện khẳng định :

(left{eginmatrix xgeq -1\y geq -2 \ x geq 1-2y \ y geq -frac12 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix xgeq -1 \ x geq 1-2y \ y geq -frac12 endmatrix ight.)

Từ PT (1) ta tất cả :

(x+1=(y+2)^2=y^2+4y+4)

(Leftrightarrow x= y^2-4y+3 hspace1cm(*))

Thay vào PT (2) ta được :

(sqrty^2+4y+3+2y-1 = 2y+1)

(Leftrightarrow y^2+6y+2 = 4y^2+4y+1)

(Leftrightarrow 3y^2 -2y-1 =0)

(Leftrightarrow (3y+1)(y-1)=0 Leftrightarrow left<eginarrayl y=1\ y=-frac13 endarray ight.)

Thay vảo ((*)) ta được :

(left<eginarrayl y=1 ; x= 8\ y=-frac13; x=frac19 endarray ight.)

Kết hòa hợp điều kiện xác minh thấy cả hai cặp nghiệm phần nhiều thỏa mãn.

Giải hệ phương trình đối xứng các loại 1 chứa căn

Nhắc lại về hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ phương trình tất cả 2 ẩn (x;y) sao cho khi ta biến đổi vai trò (x;y) lẫn nhau thì hệ phương trình không cụ đổi:

(left{eginmatrix f(x;y)=0\g(x;y)=0 endmatrix ight.)

Với:

(left{eginmatrix f(x;y)=f(y;x)\g(x;y)= g(y;x) endmatrix ight.)

Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn

Đối với dạng toán này, phương pháp giải vẫn tương tự như các bước giải hệ phương trình đối xứng loại 1, chăm chú có thêm bước tìm ĐKXĐ

Bước 1: tìm Điều khiếu nại xác địnhBước 2: Đặt (S = x + y; p. = xy) (với (S^2 geq 4P)) . Lúc đó, ta chuyển hệ về hệ new chứa (S;P) .Bước 3: Giải hệ new tìm (S;P) . Lựa chọn (S;P) thỏa mãn (S^2 geq 4P)Bước 4: cùng với (S;P) kiếm được thì (x;y) là nghiệm của phương trình: (t^2 -St +P =0) ( áp dụng định lý Vi-ét hòn đảo để giải )

Chú ý:

Một số biểu diễn đối xứng qua (S;P):

Nếu ((x;y)=(a;b)) là nghiệm thì ((x;y)=(b;a)) cũng là nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x+y-sqrtxy=3\ sqrtx+1 + sqrty+1=4 endmatrix ight.)

Cách giải :

ĐKXĐ:

(left{eginmatrix x geq -1\y geq -1 \ xy geq 0 endmatrix ight. hspace1cm (*))

Đặt (S=x+y hspace5mm; P=xy) cùng với (left{eginmatrix S^2 geq 4P\ Pgeq 0 \ S geq -2 endmatrix ight. hspace1cm (**))

Bình phương 2 vế PT (2) hệ phương trình đã cho tương đương với :

(left{eginmatrix x+y-sqrtxy=3\ x+y+2+sqrtx+y+xy+1=16 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix S- sqrtP =3 \S+2+2sqrtS+P+1=16 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix P= S^2 -6S +9\ S -14 =-2sqrtS+P+1 endmatrix ight.) cùng với (3leq Sleq 14)

Thay ( P= S^2 -6S +9 ) từ bỏ PT (1) vào PT (2) ta có :

(S-14 = -2sqrtS^2-5S+10)

(Leftrightarrow S^2-28S+196 = 4(S^2-5S+10))

(Leftrightarrow 3S^2+8S-156=0 Leftrightarrow (S-6)(3S+26)=0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix S=6\S=-frac263 endmatrix ight.)

Kết vừa lòng ĐKXĐ ta được (S=6 Rightarrow P=9)

Vậy (x;y) là nghiệm của phương trình :

(t^2-6t+9 =0 Leftrightarrow t=3)

Vậy (x=y=3) ( thỏa mãn điều kiện).

Bài viết trên đây của umakarahonpo.com đã giúp đỡ bạn tổng hợp kim chỉ nan về PT chứa căn thức cũng như phương thức giải phương trình đựng căn, bất phương trình, hệ PT chứa căn. Mong muốn những kỹ năng và kiến thức trong nội dung bài viết sẽ giúp ích cho mình trong quy trình học tập và nghiên cứu và phân tích về chủ đề phương trình đựng căn thức. Chúc bạn luôn học tốt!