CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG MA TRẬN

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng Bài 1: Hệ pmùi hương trình đường tính dưới đây để tìm hiểu về dạng biểu diễn ma trận, giải hệ phương trình đường tính bằng phương thức Gauss, định lý Cronecker - Capelli, hệ pmùi hương trình tuyến đường tính thuần độc nhất,...

Bạn đang xem: Cách giải hệ phương trình tuyến tính bằng ma trận


1. Dạng màn biểu diễn ma trận

2. Giải hệ pmùi hương trình tuyến tính bằng cách thức Gauss

3. Định lý Cronecker - Capelli

4. Hệ Cramer

5. Hệ pmùi hương trình con đường tính thuần nhất


Ví dụ: Xét hệ 3 phương trình con đường tính 4 ẩn số sau đây:

(left{ eginarrayl 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1\ x_1 - 4x_3 + 5x_4 = - 2\ - 2x_2 + x_4 = 0 endarray ight.)

Đặt(A = left( eginarray*20c 2& - 1&1& - 3\ 1&0& - 4&5\ 0& - 2&0&1 endarray ight),,X = (x_1;x_2;x_3;x_4) = left( eginarrayl x_1\ x_2\ x_3\ x_4 endarray ight),,và,B = left( eginarrayl 1\ - 2\ 0 endarray ight))

Lúc kia, hệ phương trình trên rất có thể viết lại bên dưới dạng ma trận là: AX = B.

Trong ngôi trường vừa lòng bao quát, ta xét hệ m phương thơm trình con đường tính nẩn nhỏng sau:

(left{ eginarrayl a_11x_1 + a_12x_2 + .... + a_1nx_n = b_1\ a_21x_1 + a_22x_2 + .... + a_2nx_n = b_2\ ................................\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + .... + a_mnx_n = b_m endarray ight.)

Đặt(A = (a_ mij)_m,x,n,,X = left( eginarrayl x_1\ .\ .\ .\ x_n endarray ight),,B = left( eginarrayl b_1\ .\ .\ .\ b_n endarray ight)). lúc đó, hệ phương thơm trình bên trên rất có thể viết lại dưới dạng ma trận là AX = B.

Ma trận(A_m x n) điện thoại tư vấn là ma trận hệ sổ của hệ phương trình.Ma trận(overline A = (A|B)) Hotline là ma trận hệ số mở rộng của hệ phương thơm trình.X Call là vectơ ẩn.

2. Giải hệ phương trình con đường tính bởi phương pháp Gauss.


Một phương pháp thường dùng nhằm giải hệ phương thơm trình con đường tính là phương thức Gauss, chuyển ma trận thông số mở rộng (overline A ) về dạng bậc thang tốt cầu thang thu gọn gàng, nhờ các phnghiền biến hóa sơ cấp trên loại.

Xem thêm: Top 10 Đất Nước Có Tốc Độ Mạng Nhanh Nhất Thế Giới 2019, Top 10 Nước Có Tốc Độ Mạng Nhanh Nhất Thế Giới

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 6\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\ x_1 + x_3 = 4 endarray ight.,,,(I))

Giải:

Ma trận thông số không ngừng mở rộng của (I) là :

Ta có hệ phương trình (I) tương đương:

(left{ eginarrayl x_1 + x_3 = 4\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,hay,,left{ eginarrayl x_1 = 4 - x_3\ x_2 = 5 - x_3 endarray ight.)

Cho(x_3 = alpha in R), nghiệm của hệ là(x_1 = 4 - altrộn ,x_2 = 5 - altrộn ,x_3 = altrộn )

Nhỏng thay, hệ pmùi hương trình gồm vô vàn nghiệm với nghiệm tổng thể là:

(X = (4 - altrộn ;5 - altrộn ;alpha );altrộn in R)

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 = - 1\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,(I))

Giải

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là:

Ta có hệ phương thơm trình tương đương(left{ eginarrayl x_1 = 1\ x_2 = 2\ x_3 = 3 endarray ight.)

Vậy hệ gồm nghiệm duy nhất X = (1;2;3)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ 2x_1 + x_3 = 0\ 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 3 endarray ight.,,(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có hệ phương thơm trình tương đương:(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ - 2x_2 + 5x_3 = - 2\ 0 = 1 endarray ight.)

Vậy hệ pmùi hương trình vô nghiệm


3. Định lý Cronecker - Capelli


Xét hệ phương trình tuyến tính: AX = B với(A_m,x,n,,X_n,,x,1,,B_m,x,1)

Ta có:

Hệ bao gồm nghiệm duy nhất(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = n)Hệ tất cả vô vàn nghiệm(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = k lúc đó, hệ pmùi hương trình gồm k ẩn chủ yếu ứng với k bộ phận dẫn đầu và n - k ẩn tự do thoải mái, được đưa thanh lịch vế đề nghị.Hệ vô nghiệm( Leftrightarrow R(A)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - x_3 = 2\ 2x_1 + x_3 = 1\ x_2 + 2x_3 = - 2 endarray ight.,(I))

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có:(R(A) = R(overline A) = 3)số ẩn

Vậy hệ tất cả nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)

Ví dụ: Giải hệ phuơng trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_2 - 2x_3 = 1\ x_1 + x_3 = - 2\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = - 1 endarray ight.(I))

Giải: Ma trận thông số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có: (R(A) = 2 . Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 3\ 2x_1 + x_3 = 2\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 endarray ight.,(I))

Giải:Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có:(Rleft( A ight) m = m Rleft( overline A ight) m = m 2) (số ẩn là 3). Vậy hệ có vô vàn nghiệm với 2 ẩn chủ yếu ứng với 2 thành phần đứng vị trí số 1 là x1, x2. Giải x1, x2theo ẩn tự do x3 ta gồm hệ phương trình gồm vô số nghiệm cùng với nghiệm tổng thể là:(X = left( 1 - fracaltrộn 2; - 2 + fracalpha 2;altrộn ight),với,altrộn in R)


4. Hệ Cramer


Hệ phương trình tuyến tính AX = B được gọi là hệ Cramer nếu như A là ma trận vuông không suy đổi mới , nghĩa là(left| A ight| e 0)

Lúc đó, ta gồm nghiệm duy nhất:(X = A^-1B)

Nếu cung cấp của ma trận A hơi to thì câu hỏi tìm(A^-1) tương thay đổi phức hợp. Hơn nữa, gồm lúc ta đưa ra phải search một vài ba ẩn (x_j) nuốm vày toàn thể những ẩ(X=(x_1; x_2;....;x_n)). Từ đó, người ta đưa ra công thúc tính từng ẩn (x_j) phụ thuộc cách làm (X = A^-1B) nlỗi sau :

(x_j = fracD_jD)

Trong đó (D = left| A ight|,và,D_j) là định thức của ma trận giành được từ bỏ A bằng phương pháp gắng cột j vày vế cần (cột B ).

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 3\ - 3x_1 + x_2 = - 2\ - 2x_1 + x_3 = 1 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

(eginarrayl D = left| eginarray*20c 1& - 2& - 1\ - 3&1&0\ - 2&0&1 endarray ight| = - 7;,,,,D_1 = left| eginarray*20c - 3& - 2& - 1\ - 2&1&0\ 1&0&1 endarray ight| = - 6\ D_2 = left| eginarray*20c 1& - 3& - 1\ - 3& - 2&0\ - 2&1&1 endarray ight| = - 4;,,,D_3 = left| eginarray*20c 1& - 2& - 3\ - 3&1& - 2\ - 2&0&1 endarray ight| = - 19 endarray)

Vậy nghiệm là(X = left( fracD_1D;fracD_2D;fracD_3D ight) = left( frac67;frac47;frac197 ight))


5. Hệ phương thơm trình tuyến tính thuần duy nhất.


Hệ pmùi hương trình tuyến đường tính AX = 0 Hotline là hệ thuần độc nhất. Ngoài các đặc điểm thông thường của hệ AX = B, hệ thuần nhất AX = 0 còn tồn tại những tính chất riêng nhỏng sau :

Hệ luôn luôn tất cả nghiệm bình bình X = 0 (không tồn tại trường thích hợp hệ vô nghiệm)Nếu A là ma trận vuông, ko suy vươn lên là thì hệ tất cả nghiệm tốt nhất (X = A^-10 = 0), đó là nghiệm bình bình.Nếu hệ có vô vàn nghiệm thì tập nghiệm là một không gian nhỏ của ko gian(R^n) (với n là số ẩn). Một các đại lý của không khí nghiệm được gọi là 1 hệ nghiệm cơ phiên bản.

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình con đường tính(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 0\ 2x_1 - x_2 = 0\ x_2 + 2x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:(D = left| eginarray*20c 1& - 1&1\ 2& - 1&0\ 0&1&2 endarray ight| = 4 e 0)

Đây là hệ Cramer, phải hệ bao gồm nghiệm độc nhất X = (0; 0; 0)

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình đường tính(left{ eginarrayl x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0\ - 2x_1 + x_2 = 0\ - x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Hệ gồm vô số nghiệm cùng với nghiệm tổng thể là:(X = ( - alpha ; - 2alpha ;alpha ) = altrộn ( - 1; - 2;1),altrộn in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là (-1;-2;1). Số chiều của không khí nghiệm là 1 trong.

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 - x_4 = 0\ x_2 - x_3 - x_4 = 0\ 2x_1 - x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Nghiệm tổng thể là:

(X = (altrộn + 2eta ;alpha + eta ;alpha ;eta ) = altrộn (1;1;1;0) + eta (2;1;0;1),với,,alpha ,eta in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là (1;1;1;0).(2;1;0;1). Số chiều của không khí nghiệm là 2.