Phương Pháp Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử

Phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức cơ sở cho những bài học về nhân chia đơn thức, đa thức đặc trưng trong các biểu thức phân số bao gồm chứa đổi thay trong chương trình toán 8 và cả các lớp sau này.

Bạn đang xem: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử


Chính vì chưng vậy, mà việc nắm vững các cách phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chung, team hạng tử, hay cách thức dùng hằng đẳng thức là điều rất đề nghị thiết. Nội dung bài viết dưới đây đã tổng phù hợp các phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử và vận dụng giải những dạng bài tập này.

I. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

* Phương pháp:

Tìm nhân tử thông thường là những đối chọi thức, nhiều thức có mặt trong tất cả các hạng tử.

- so sánh mỗi hạng tử các thành tích của nhân tử bình thường và một nhân tử khác.

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết những nhân tử còn sót lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (và cả vệt của chúng).

 * Ví dụ. phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

 a) 15x3 - 5x2 + 10x = 5x.(3x2) + 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3x2 - x + 2)

 b) 28x2y2 - 21xy2 + 14x2y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy - 3y + 2x)

2. Phân tích nhiều thức thành nhân tử với phương thức dùng hằng đẳng thức

* Phương pháp:

- biến đổi đa thức các bạn đầu về dạng không còn xa lạ của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để triển khai xuất hiên nhân tử chung.

Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt những hằng đẳng thức xứng đáng nhớ:

 ♦ (A+B)2= A2+2AB+B2

 ♦ (A–B)2= A2– 2AB+ B2

 ♦ A2–B2= (A-B)(A+B)

 ♦ (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3

 ♦ (A – B)3= A3- 3A2B+ 3AB2- B3

 ♦ A3+ B3= (A+B)(A2- AB +B2)

 ♦ A3- B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)

 ♦ (A+B+C)2= A2+ B2+C2+2 AB+ 2AC+ 2BC

* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3

* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

 a) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)

 b) 8 – 27x3y6 = 23 – (3xy2)3 = (2 – 3xy2)(4 + 6xy2  + 9x2y4)

 c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2

3. Phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức nhóm nhiều hạng tử

* Phương pháp:

- phối kết hợp các hạng tử tương thích thành từng nhóm.

- Áp dụng liên tục các phương pháp đặt nhân tử phổ biến hoặc cần sử dụng hằng đẳng thức.

* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử

 a) 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)

= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)

 b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)

4. Cách thêm bớt 1 hạng tử hoặc bóc hạng tử để phân tích nhiều thức thành nhân tử

* Phương pháp:

- áp dụng thêm sút hạng tử linh hoạt để lấy về nhóm hạng tử phổ biến hoặc cần sử dụng hằng đẳng thức

 * Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 a) x4 + 4 = x4 + (4x2 - 4x2) + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2+2)2 - 4x2

= (x2+2-2x)(x2+2+2x)

 b) x4 + 1 = x4 + 2x2 - 2x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 - 2x2 = (x2+1)2 - 2x2 = (x2+1)2 - (x√2)2

= (x2+1-x√2)(x2+1+x√2)

 c) 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x + 16 - 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2 - 4) + 8(x+2)

 =3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2)<3(x-2)+8> =(x + 2)(3x + 2)

 hoặc: 3x2 + 8x + 4 = 4x2 - x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2

 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)

5. Phối đúng theo nhiều phương thức để phân tích đa thức thành nhân tử

* Phương pháp: Sử dụng các phương thức trên theo máy tự ưu tiên.

- phương pháp đặt nhân tử chung.

- cách thức dùng hằng đẳng thức.

- phương thức nhóm nhiều hạng tử.

 * Ví dụ: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử

 a) 3xy2 - 6xy + 3x

= 3x(y2 – 2y + 1) (đặt nhân tử chung)

= 3x(y – 1)2 (dùng hằng đẳng thức (A–B)2= A2– 2AB+ B2 trong công đoạn này A là y B là 1)

 b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2

= 2((x2 + 2x +1) - y2) (đặt nhân tử chung)

= 2((x+1)2 - y2) (dùng hằng đẳng thức: (A+B)2= A2+2AB+B2) trong bước này A là x; B là 1)

= 2(x+1-y)(x+1+y) (dùng hằng đẳng thức: A2–B2= (A-B)(A+B) trong bước này A là x+ 1 còn B là y)

*

II. áp dụng giải một vài dạng bài xích tập phân tích nhiều thức thành nhân tử

Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích nhiều thức thành nhân tử

 a) 3x - 6y;

 b)

*
;

 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;

 d)

*
;

 e) 10x(x - y) - 8y(y - x).

* giải mã bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:

 a) 3x - 6y = 3(x-2y)

 b)

*
*

 c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x - 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)

 d) 

*
*

 e) 10x(x - y) - 8y(y - x)

- Ta thấy: y - x = –(x – y) buộc phải ta có:

 10x(x - y) - 8y(y - x) =10x(x - y) - 8y<-(x - y)> =10x(x - y) + 8y(x - y) =2(x-y)(5x+4y)

Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính quý hiếm của biểu thức

a) 15.91,5 + 150.0,85;

b) x(x - 1) - y(1 - x) trên x = 2001 cùng y = 1999.

Xem thêm: Tìm Mua Có Nên Mua Lg X Power : Price, Specs And Best Deals

* giải mã bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:

- lưu lại ý: cùng với dạng bài tập này bọn họ cần đối chiếu hạng tử để lộ diện nhân tử thông thường rồi phân tích thành nhân tử trước khi tính giá bán trị.

a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.

b) x(x - 1) - y(1 - x)

- Ta thấy: 1 - x = -(x - 1) đề nghị ta có:

 x(x - 1) - y(1 - x) =x(x-1)-y<-(x-1)> =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)

- Thay x = 2001 với y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000

Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0;

b) x3 – 13x = 0

* giải thuật bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:

a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0

⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0

*
*

- tóm lại có 2 cực hiếm x thoả mãn là x = 2000 cùng x = 1/5.

b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0

*
 ⇔
*

- Kết luận: Có cha giá trị của x thỏa mãn là x = 0, x = √13 và x = –√13.

Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:  minh chứng rằng 55n + 1 – 55n chia hết đến 54 (với n là số từ nhiên)

* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: 

- Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 - 55n = 55n (55 - 1) = 55n.54

- vì chưng 54 phân chia hết mang lại 54 cần 55n.54 luôn chia hết đến 54 với n là số trường đoản cú nhiên.

⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết đến 54.

Bài 43 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2

c) ; d)

* giải mã bài 43 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2

b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 - 10x + 25)

= –<(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2> = –(x–5)2

c)

*
*
*

d) 

*
*

Bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:

a)  ; b) (a + b)3 – (a – b)3 

c) (a + b)3 + (a – b)3 ;

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3

e) - x3 + 9x2 – 27x + 27.

* lời giải bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: 

a)

*
*
*

b) (a + b)3 – (a – b)3

= <(a + b) – (a – b)> . <(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2>

= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)

= 2b.(3a2+ b2)

c) (a + b)3 + (a – b)3

= <(a + b) + (a – b)> . <(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2>

= <(a + b) + (a – b)> . <(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)>

= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)

= 2a.(a2 + 3b2)

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3

e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3

Bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 2 - 25x2 = 0

b) 

* giải thuật bài 45 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1:

a) 2 - 25x2 = 0 

*
*
*

- Kết luận: vậy bao gồm 2 nghiệm thoả là x = -√2/5 và x= √2/5.

b) 

*
*
*

- Kết luận: vậy có 1 nghiệm thoả là x=1/2.

Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh

a) 732 - 272 ; b) 372 - 132 ; c) 20022 - 22

* giải mã bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:

a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600

b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200

c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000

Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

a) x2 –xy + x – y

b) xz + yz – 5(x + y)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

* lời giải bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 – xy + x – y

+) Cách 1: Nhóm hai hạng tử thứ 1 cùng thứ 2, hạng tử thứ 3 và thứ 4

 x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)

+) biện pháp 2: Nhóm hạng tử sản phẩm 1 với thứ 3 ; hạng tử thứ hai và trang bị 4

 x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)

b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

+) Cách 1: Nhóm nhì hạng tử trước tiên với nhau cùng hai hạng tử cuối cùng với nhau:

 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)

+) phương pháp 2: Nhóm hạng tử lần thứ nhất với hạng tử vật dụng 3; hạng tử thứ hai với hạng tử vật dụng 4:

 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).

Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử

a) x2 + 4x –y2 + 4

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2

* giải mã Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 4x – y2 + 4

= (x2 + 4x + 4) – y2

= (x + 2)2 – y2 

= (x + 2 – y)(x + 2 + y)

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 

= 3.(x2 + 2xy + y2 – z2)

= 3<(x2 + 2xy + y2) – z2>

= 3<(x + y)2 – z2>

= 3(x + y – z)(x + y + z)

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 

= (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) 

= (x – y)2 – (z – t)2

= <(x – y) – (z – t)><(x – y) + (z – t)>

= (x – y – z + t)(x – y + z –t)

Bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

* lời giải bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

⇔ (x – 2)(x + 1) = 0

*
 
*

- Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2.

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0

*
*
*

- Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5.

Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 – 2x2 + x.

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

c) 2xy – x2 – y2 + 16

* giải thuật bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

a) x3 – 2x2 + x

= x.x2 – x.2x + x.1

= x(x2 – 2x + 1)

= x(x – 1)2

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 

= 2.(x2 + 2x + 1 – y2)

= 2<(x2 + 2x + 1) – y2>

= 2<(x + 1)2 – y2>

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x2 – y2 + 16

= 16 – (x2 – 2xy + y2) 

= 42 – (x – y)2

= <4 – (x – y)><4 + (x + y)>

= (4 – x + y)(4 + x – y).

Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 phân tách hết đến 5 với tất cả số nguyên n.

* lời giải bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

- Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)

- vì 5 ⋮ 5 đề xuất 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.

⇒ Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn chia hết mang lại 5 cùng với n ∈ Ζ

Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 3x + 2

b) x2 + x – 6

c) x2 + 5x + 6

(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các cách thức đã học để phân tích nhưng nếu bóc hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta tất cả x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 và từ đó thuận tiện phân tích tiếp.

Cũng có thể tách bóc 2 = - 4 + 6, lúc ấy ta bao gồm x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, trường đoản cú đó thuận lợi phân tích tiếp)